${\sin }^{4}A+ {\sin }^{2}A = 1$ হলে-
i. 2 sin²A = cosA
ii. tanA= cosecA
iii. tanA. cosecA = 1
নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত শর্তটি হলো:

\( \sin^4 A + \sin^2 A = 1 \)

এই সমীকরণটিকে আমরা এভাবে পুনর্বিন্যাস করতে পারি:

\( \sin^4 A = 1 - \sin^2 A \)

আমরা ত্রিকোণমিতির মৌলিক অভেদ (basic identity) থেকে জানি যে, \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)। সুতরাং, \( 1 - \sin^2 A = \cos^2 A \)।

এই মানটি উপরের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে পাই:

\( \sin^4 A = \cos^2 A \)

এখন, আমরা প্রতিটি বিবৃতির (statement) সত্যতা যাচাই করব:

বিবৃতি i: \( 2 \sin^2 A = \cos A \)

যদি এই বিবৃতিটি সত্য হয়, তাহলে \( \sin^2 A = \frac{\cos A}{2} \)।

আমরা পূর্বেই \( \sin^4 A = \cos^2 A \) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠা করেছি। এই সমীকরণে \( \sin^2 A = \frac{\cos A}{2} \) প্রতিস্থাপন করি:

\( \left(\frac{\cos A}{2}\right)^2 = \cos^2 A \) \( \frac{\cos^2 A}{4} = \cos^2 A \)

এই সমীকরণটি সত্য হতে হলে, \( \cos^2 A \) অবশ্যই শূন্য হতে হবে।

যদি \( \cos^2 A = 0 \) হয়, তাহলে \( \cos A = 0 \)।

যদি \( \cos A = 0 \) হয়, তাহলে \( \sin^2 A = \frac{0}{2} = 0 \), অর্থাৎ \( \sin A = 0 \)।

কিন্তু আমরা জানি যে \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)। \( 0^2 + 0^2 = 0 \neq 1 \)। এটি একটি অসঙ্গতি।

সুতরাং, বিবৃতি i সঠিক নয়।

বিবৃতি ii: \( \tan A = \operatorname{cosec} A \)

এই সমীকরণটিকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞা অনুযায়ী এভাবে লেখা যায়:

\( \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{1}{\sin A} \)

আড়াআড়ি গুণ করে পাই (যদি \( \sin A \neq 0 \) এবং \( \cos A \neq 0 \) হয়):

\( \sin^2 A = \cos A \)

এখন, আমরা পরীক্ষা করি যে এই সম্পর্কটি আমাদের প্রাপ্ত \( \sin^4 A = \cos^2 A \) সমীকরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা।

যদি \( \sin^2 A = \cos A \) হয়, তবে \( (\sin^2 A)^2 = (\cos A)^2 \), অর্থাৎ \( \sin^4 A = \cos^2 A \)।

এটি আমাদের প্রাপ্ত শর্তের সাথে সম্পূর্ণরূপে সামঞ্জস্যপূর্ণ। অতএব, \( \sin^2 A = \cos A \) একটি সম্ভাব্য সম্পর্ক।

যদি \( \sin^2 A = \cos A \) সত্য হয়, তবে \( \cos A \) অবশ্যই অঋণাত্মক হতে হবে (কারণ \( \sin^2 A \ge 0 \))।

এই সম্পর্কটি মূল প্রদত্ত সমীকরণে \( \sin^4 A + \sin^2 A = 1 \) প্রতিস্থাপন করলে পাই:

\( ( \cos A )^2 + \cos A = 1 \) \( \cos^2 A + \cos A - 1 = 0 \)

এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করলে \( \cos A \) এর মান পাওয়া যায়:

\( \cos A = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)

যেহেতু \( \cos A \) অঋণাত্মক হতে হবে, তাই আমরা পাই \( \cos A = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \)। এই মানটি \( -1 \) এবং \( 1 \) এর মধ্যে থাকে (প্রায় \( 0.618 \)), যা সম্ভব।

সুতরাং, বিবৃতি ii সঠিক।

বিবৃতি iii: \( \tan A \cdot \operatorname{cosec} A = 1 \)

এই সমীকরণটিকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞা অনুযায়ী এভাবে লেখা যায়:

\( \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{1}{\sin A} = 1 \)

সরল করলে পাই (যদি \( \sin A \neq 0 \) হয়):

\( \frac{1}{\cos A} = 1 \)

অর্থাৎ,

\( \cos A = 1 \)

যদি \( \cos A = 1 \) হয়, তাহলে \( \sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - 1^2 = 0 \)। অর্থাৎ \( \sin A = 0 \)।

এখন এই মানগুলো মূল প্রদত্ত সমীকরণে \( \sin^4 A + \sin^2 A = 1 \) প্রতিস্থাপন করি:

\( (0)^4 + (0)^2 = 1 \) \( 0 = 1 \)

এটি একটি মিথ্যা বিবৃতি। সুতরাং, বিবৃতি iii সঠিক নয়।

উপরোক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, শুধুমাত্র বিবৃতি ii সঠিক।

প্রদত্ত অপশনগুলো হলো: 1. i ও ii, 2. i ও iii, 3. ii ও iii, 4. i, ii ও iii।

যেহেতু শুধুমাত্র বিবৃতি ii সঠিক এবং অপশনগুলোতে শুধু 'ii' সম্বলিত কোনো একক অপশন নেই, অথবা 'ii' এর সাথে ভুল বিবৃতিগুলোর সংমিশ্রণ হিসেবে দেখানো হয়েছে, তাই প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।